www.Hobby-Electronics.info

  • Vergroot lettergrootte
  • Standaard lettergrootte
  • Verklein lettergrootte

Bijlage E. Complexe wiskunde

Berekeningen aan een serieschakeling van een condensator en een weerstand.

Impedantie

We weten al dat voor de impedantie van een condensator geldt:

Bij een frequentie van 10kHz heeft een condensator van 1nF dus een impedantie van 15.9k.

Wanneer we deze condensator in serie zetten met een weerstand van 10k, zouden we misschien verwachten dat de totale imdedantie 25.9k is. Maar dat is niet zo. Dat komt doordat een condensator een faseverschuiving van -90 graden in de stroom veroorzaakt. De vergelijking

laat dat niet zien. Maar wat als we de impedantie afbeelden als een vector? De lengte ervan geeft de (absolute) impedantie aan en de hoek de faseverschuiving:

Deze component heeft een absolute impedantie van 1 ohm en veroorzaakt een faseverschuiving van 45 graden tussen stroom en spanning.

Een weerstand veroorzaakt geen faseverschuiving; deze vector ligt dus langs de x-as. Een condensator veroorzaakt een faseverschuiving van -90 graden en ligt dus langs de (negatieve) y-as. De totale impedantie van een serieschakeling van een weerstand en condensator is R + XC. We moeten echter geen getallen maar vectoren optellen. Met hoeken van 90 graden is het makkelijk om de (absolute) totale impedantie te berekenen: we kunnen gewoon de stelling van Pythagoras gebruiken:

Zt = √(R2+XC2). De faseverschuiving φ is arctan(-XC/R)

Zou het niet handig zijn als we op een simpelere manier konden zeggen: de impedantie is x ohm en de faseverschuiving bedraagt y graden? Een faseverschuiving van 180 graden is makkelijk; dan zouden we kunnen zeggen: de impedantie bedraagt -x ohm. Een faseverschuiving van 180 graden is immers vermenigvuldigen met -1. Stel nu dat een faseverschuiving van 90 graden overeenkomt met een vermenigvuldiging met j. Een faseverschuiving van 180 graden komt dan dus overeen met een vermenigvuldiging met j2. Hieruit volgt dus dat j2 = -1. In de reële wiskunde is dit natuurlijk niet mogelijk. Dit moemen we dan ook 'complexe wiskunde'. (Wiskundigen onder ons zijn misschien gewend om i in plaats van j te gebruiken. Maar wij gebruiken de i echter al als symbool voor stroom, dus dat is verwarrend.)

Elke impedantie is te schrijven als: a + bj. Het getal a noemen we het reële deel en wordt in het bovenstaande plaatje uitgezet langs de x-as. Het getal b heet het imaginaire deel en wordt uitgezet op de y-as.

Een weerstand veroorzaakt geen faseverschuiving en is dus zuiver reëel.

We weten dat een condensator een faseverschuiving van -90 graden veroorzaakt; de impedantie ervan is dus zuiver imaginair, en te schrijven als:

We nemen weer als voorbeeld een weerstand van 10k in serie met een condensator met een impedantie van 15.9k. De totale (complexe) impedantie is dus 10k - 15.9kj. De absolute waarde (|Z|) bedraagt √(10k2 + 15.9k2) = 18.78k. De faseverschuiving in de stroom (arg(Z)) is arctan(-15.9k/10k) = -57.8 graden.

Voor een serieschakeling van een weerstand en condensator geldt dus: ZR+C = R - XCj.

De absolutie waarde is: |ZR+C| = √(R2+XC2).

De faseverschuiving is: φ = arg(ZR+C) = arctan(-XC/R).

We kunnen natuurlijk ook terugrekenen. Stel dat we weten dat een serieschakeling van een condensator en weerstand een absolute impedantie heeft van |Z| = 18.78kΩ en een faseverschuiving φ veroorzaakt van -57.8 graden. Het reële deel (de weerstand dus) kunnen we berekenen met:

R = |Z| ∙ cos(φ)

De weerstand is dus 18.78k ∙ cos(-57.8) = 10kΩ.

Voor het imaginaire deel (de impedantie van de condensator dus) geldt:

-XCj = |Z| ∙ sin(φ) ∙ j

In ons voorbeeld is -XCj dus 18.78 ∙ sin(-57.8) = -15.9kj.

Vermogen

Voor het berekenen van het ontwikkelde vermogen geldt de formule:

P = uRMS ∙ iRMS

We sluiten onze serieschakeling van 10k en 1nF aan op een spanningsbron die een sinusvormige spanning afgeeft van 10Vt en een frequentie heeft van 10kHz. uRMS is dan 10√2 = 14.14V. Voor het ontwikkelde vermogen in de weerstand van gebruiken we de formule P = uRMS2 / R. Dus P = 14.142 / 10k = 0.02W. We hebben al berekend dat de impedantie van de condensator -15.9kj is. Het vermogen is 14.142 / -15.9kj = 0.0126jW. Dit is dus zuiver imaginair vermogen! We noemen dit ook wel reactief vermogen. Reactief vermogen veroorzaakt geen warmte! Het reële vermogen ontwikkeld in de weerstand doet dat uiteraard wel.

Het totale vermogen is de som van beide vermogens, dus Ptotaal = Preëel + Preactief = 0.02 + 0.0126jW. Het absolute vermogen, schijnbaar vermogen genoemd, is uiteraard:

Pschijnbaar = |Ptotaal| = √(Preëel2 + Preactief2)

In ons voorbeeld is het schijnbaar vermogen dus √(0.022 + 0.01262) = 0.0236VA. De eenheid van schijnbaar vermogen is dus voltampere en niet Watt.

Het totale vermogen is uiteraard nog steeds uRMS ∙ iRMS, zodat we kunnen stellen dat:

Preëel= uRMS ∙ iRMS ∙ cos(φ) en Preactief = uRMS ∙ iRMS ∙ sin(φ)

De factor cos(φ) wordt ook wel de vermogensfactor genoemd.

U bent bezoeker nummer: